NA MENTE DE DEUS: O DODECAEDRO

Um indício é um indício, dois indícios são uma coincidência, mas três indícios fazem uma prova.”    (Agatha Christie)

Um dos aspectos mais intrigantes da Gnosiologia contemporânea é determinar se os axiomas matemáticos, e todo o edifício teórico que se segue, representam o fruto do conhecimento de um mundo ideal que existe independentemente de nós e que é acessível através da intuição da essência, ou se a matemática fornece apenas o aparelho conceitual para dominar o mundo das entidades reais [1]. A questão não é trivial.

De acordo com muitos grandes pensadores da Antiguidade, que eram em sua maioria filósofos e matemáticos, não havia dúvida que a própria ideia de Cosmos existisse concretamente no Hyperurânio, de modo que Pitágoras e Platão chegaram à conclusão de que a matéria física tinha, em última instância, natureza geométrica, e que em todas as coisas “Deus geometriza“.

Para Platão, a Geometria tinha o mérito imenso de levar a alma à Verdade formando, assim, um pré-requisito para o estudo de filosofia. O ilustre ateniense dizia ser “impossível até mesmo chegar a uma verdadeira fé em Deus, sem conhecer a matemática e a astronomia e a íntima conexão desta com a música” [2]. Em resumo, de acordo com a ontologia platônica, o mundo material seria apenas a projeção evanescente do Mundo das Ideias sendo esse o legítimo “mundo real”, fundamento de tudo o que existe e que nos rodeia.

Na era das trevas, iniciada com a supressão do paganismo (V século), o pensamento pitagórico-platônico acabou sendo desprezado e, se não tivesse sido reintroduzido em Ocidente graças ao trabalho de Gemisto Pletão, provavelmente teria se perdido para sempre.

Em tempos mais recentes, filósofos e matemáticos de relevância como Leibnitz, Cantor, Russell, Godel e outros reavaliaram o platonismo reconhecendo que a Matemática é “conhecimento do que existe eternamente“; uma declaração extremamente correta, se formos admitir que os conceitos expressos pela Geometria são os mesmos para todos os seres inteligentes espalhados pelo Universo, independentemente do sistema numérico adotado.

Até no âmbito da Física Werner Heisenberg, um dos fundadores da Mecânica Quântica e admirador das idéias de Platão, afirmou que: “Platão estabeleceu definitivamente a estrada da física moderna: isso porque as unidades mínimas da matéria não são objetos no sentido usual do termo: são formas, estruturas –ideias, no sentido de Platão- dos quais só podemos falar na linguagem da matemática…” [3].

Focando a questão em termos mais facilmente acessíveis, ou admitimos a existência de um Demiurgo, cujo trabalho foi executado de acordo com um plano presente em sua mente, ou acreditamos que a própria matéria possui algum tipo de “auto-inteligência” que lhe permitiu assumir, entre inúmeras configurações possíveis, os valores numéricos apropriados para fazer com que o Universo se tornasse um lugar apto para abrigar a vida, em particular a vida inteligente. Mesmo aceitando como legítima só esta segunda hipótese, não se pode deixar de reconhecer que a maneira em que a matéria escolheu as Leis que a governam foi determinada a partir da própria matéria numa fase anterior ao seu desenvolvimento operacional. Isto corresponde a dizer que a matéria primordial tinha, em seu “DNA”, um plano pré-determinado, atuado no momento do Big Bang.

Como resultado, qualquer investigação capaz de elucidar o projeto mediante o qual a Realidade conseguiu produzir a complexidade do nosso Universo, corresponde a penetrar na mente da Divindade, seja ela espiritual ou material. As ferramentas disponíveis para nós são a Matemática e a Geometria.

No entanto, é bom salientar que a Geometria é conceptualmente mais importante que a Matemática. Já no IV século antes da Era Vulgar Eudoxo de Cnido, um discípulo de Arquitas de Tarento, havia evitado o utilizo do valor numérico dos irracionais, preferindo a sua representação geométrica; isso porque só os geômetras podiam lidar com razões incomensuráveis. Por outro lado fica evidente que a Geometria antecede a Matemática se considerarmos que, por exemplo, π é definido como razão entre o comprimento de uma circunferência e o diâmetro da mesma. Inclusive o próprio Arquitas havia brilhantemente resolvido o problema da duplicação do cubo sem usar a álgebra que ainda estava longe de ser importada para a Europa.

Quanto a Platão, ele descreve, no Timeu, o trabalho do Demiurgo que plasma um cosmo composto por quatro elementos simbolizados por quatro poliedros, respectivamente: tetraedro (fogo), octaedro (ar), cubo (terra) e icosaedro (água). Mas “ainda faltava uma construção, a quinta, e o deus usou-a para o Tudo“. Trata-se do dodecaedro e Plutarco nos ajuda a entender por qual motivo o símbolo do universo deve ser esse e não uma esfera.

O motivo principal, embora não o único, é que este sólido consiste em doze faces (pentágonos regulares) correspondentes aos 12 meses do ano. Doze é também o perímetro do triângulo egípcio, com catetos 3 e 4, e hipotenusa 5. A importância simbólica deste triângulo retângulo encontra-se no fato que, enquanto para os números lineares a soma de 1+2=3 expressa a manifestação (epifania) da Divindade em campo unidimensional, no caso do triângulo egípcio permite que ela se manifeste em duas dimensões. De fato: 3²+4²=5². Note-se que, em ambos os casos, os três números são consecutivos. Não menos importante é o fato que a superfície do dodecaedro é dividida em 360 triângulos escalenos e, consequentemente, o sólido pode ser decomposto em 360 tetraedros onde 360 é o número de dias do ano egípcio e caldeu. Entre outras coisas, o dodecaedro pode ser considerado formado por 12 pirâmides com base pentagonal -correspondentes às suas 12 faces- e, portanto, posto em estreita relação com os números sólidos piramidais.

Sendo que cada uma das faces contém um pentagrama inscrito, como escreveu Arturo Reghini: “pode-se dizer que tanto o dodecaedro como cada uma de suas faces estão marcados com a mesma harmonia; a harmonia do pentagrama coincide com a harmonia do dodecaedro”. De acordo com o ilustre esoterista italiano, “Assim como o pentagrama, que contém infinitos pentagramas, o dodecaedro contém um número infinito de dodecaedros” [4].

Efetivamente, este poliedro notável é inscrito numa esfera e, em seu interior, há uma segunda esfera tangente às faces do dodecaedro; uma terceira esfera, intermédia entre as duas anteriores, vê as arestas do sólido tangentes à sua superfície. Segue-se que, uma vez que todos os sólidos Platônicos são inscrito numa esfera, eles são praticamente contidos no interior do dodecaedro um número infinito de vezes; portanto, os padrões repetitivos dos sólidos Platônicos que se encaixam uns nos outros são objectivamente fractais.

Euclides, em seu livro XIII dos Elementos, explica como construir um dodecaedro a partir de um cubo. É obtido um polítopo com 12 faces, 30 arestas e 20 vértices; lembramos que o número de faces do dodecaedro é o mesmo que o número das arestas do hexaedro (cubo) e do octaedro.

Outra propriedade notável da dodecaedro aparece quando são traçados quatro planos paralelos (x, y, z e t) dois dos quais coincidentes com os pentágonos das bases (x e t) e os outros dois (y e z) que passam através dos outros dois pentágonos identificados pelos cinco vértices vizinhos às bases. Desta forma obtemos quatro segmentos a, b, c, d, cada um dos quais é razão áurea do anterior.

Reghini [4] mostra como a secção de ouro da altura h do dodecaedro é igual ao lado da estrela decagonal s inscrita na face pentagonal do dodecaedro e que o raio r da circunferência circunscrita a esta face é a parte de ouro do lado s da estrela decagonal inscrita; enfim, o lado da decágono inscrito é razão áurea do raio r. Destarte, para uma propriedade das proporções, já conhecida na Antiguidade, esses elementos formam a famosa Proporção da Babilônia:

h : s = r : l

ou seja, o segundo termo s é a média aritmética dos valores extremos, enquanto que o terceiro termo r representa a sua média harmônica.

Os centros das faces do dodecaedro são, por sua vez, os vértices de um icosaedro inscrito e, por conseguinte, os vértices de três retângulos douradas que se cruzam em planos perpendiculares entre eles. O hexaedro inscrito no dodecaedro tem como aresta a diagonal da face pentagonal e, portanto, a aresta do dodecaedro é a secção de ouro da aresta do cubo.

Em tudo, no dodecaedro, a seção áurea ocorre 120 vezes e o próprio Platão escreve no Fédon: “O dodecaedro é o poliedro que mais se aproxima à perfeição da superfície esférica e, além disso, contém a verdade mística da seção áurea que expressa, em termos matemáticos, a divindade de forma esférica“.

As razões pelas quais Platão apontava o dodecaedro como sendo o símbolo do universo, muito válidas no seu tempo, já não seriam mais tão significativas à luz do conhecimento moderno sobre a estrutura da matéria, se não fosse para a conjectura de um grupo de astrofísicos franceses e norte-americanos que, analisando dados recentes da radiação cósmica de fundo, chegaram à conclusão que a forma do Cosmo poderia ser a dum dodecaedro, embora no contexto de uma geometria esférica [5].

Esta informação valiosa, que liga o dodecaedro ao Universo, é um estímulo poderoso para desenvolver a análise das principais constantes adimensionais usando, como instrumento de investigação, os valores de geometria do dodecaedro. Antes de prosseguir, é porém necessário abrir um parêntese para apresentar e explicar o significado dessas constantes.

No começo da década de ‘20 do século passado, alguns Físicos estavam convencidos de que certas constantes adimensionais, fundamentais para definir as propriedades do Universo, deviam originar de uma equação apropriada formada por números puros, em vez que de medições experimentais [6]. A mais famosa destas constantes é conhecida como Constante de Estrutura Fina (α) que caracteriza a magnitude da força eletromagnética:

α = e²/2ε₀ h c

nessa definição e é a carga do elétron, h a Constante de Planck, c é a velocidade da luz no vácuo e ε₀ a permissividade do vácuo. Por motivos práticos, frequentemente é considerado o seu inverso α^-1 (=137,0359…). Trata-se de um valor de importância fundamental não só para a Física, mas também para a Biologia; na verdade, universos com diferentes valores de α não seriam adequados para abrigar a vida. Por exemplo, se α tivesse um valor diferente de apenas 4%, o processo de fusão nuclear nas estrelas não iria produzir carbono suficiente para sustenta a vida orgânica.

Ao longo dos anos, vários pesquisadores tentaram deduzir o valor de α^-1 usando expressões matemáticas baseadas em combinações de números inteiros e π. Eis algumas delas:

Aspden & Eagles [7]                         1/α = 108 π (8/1843)^1/6 = 137,035915

Robertson [8]                                     1/α = 2^-19/4 3^10/3 5^17/4 π^-2 = 137,03594

Burger [9]                                           1/α = (137²+ π²)^1/2 = 137,0360157

Gary Adamson [10] produziu uma página inteira de fórmulas com base na razão de ouro (φ).

Basicamente são apenas coincidências interessantes mas sem qualquer justificação lógica. Até agora, as minuciosas tentativas para encontrar uma expressão puramente numérica capaz não apenas de justificar o valor de α^-1, mas também de outras constantes adimensionais relevantes, falharam miseravelmente. Podemos inferir que o caminho da Matemática não parece adequado para essa tarefa? E se tentássemos com a Geometria, em particular, com o sólido que mais do que qualquer outro simboliza o Universo?

Para isso deve-se, por primeiro, determinar o comprimento l da aresta do poliedro. Sendo o dodecaedro baseado tanto sobre o número φ que π, a lógica sugere de utilização o terceiro pilar de matemática, ou seja, o número e (=2,718281828459…) conhecido como número de Napier, base dos logaritmos naturais. Depois de algumas tentativas, percebemos que o valor mais adequado é l=e²=7,3890560989…

Calculando a razão entre a área A do dodecaedro e o raio da esfera inscrita r_ins obtemos:

1/α = A/r_ins = 137,0006

com uma diferença de apenas 0,7% em comparação com o valor experimental. Trata-se de um resultado considerável alcançado de forma quase que imediata a partir do sólido que mais simboliza o nosso Universo.

Outro parâmetro adimensional de importância primacial é a Constante μ (=1836,152) definida como a razão entre a massa do próton e massa do elétron. Ela desempenha um papel-chave nos processos que geram a energia das estrelas e, mais importante, assegura que os elétrons ocupem posições estáveis em volta do núcleo de modo a permitir, por exemplo, a replicação correta do DNA.

Consideramos novamente o dodecaedro multiplicando o diâmetro da esfera circunscrita d_cir para o valor da aresta l e, também, por doze (o número das faces pentagonais), obtemos:

μ = 12 l d_cir = 1836,147

a diferença da Constante μ experimental é de 0,00027%.

Também é interessante observar que o produto da aresta para o diâmetro da esfera circunscrita gera o número 153,0122 extremamente próximo ao número inteiro 153 chamado por Arquimedes a “medida dos peixes“. 153 é também mencionado no famoso episódio da pesca milagrosa (Jo 21:11) sem, no entanto, que nem os Padres da Igreja nem outros apologistas cristãos tenham sido capazes de dar uma explicação convencendora a respeito da gênese desse valor.

No entanto, 153, além de ser o 17° número triangular, é o denominador da fração 256/153 que é mais próxima a √3, ou seja, a altura AB da Vesica Piscis.

Se CD = 1 então AB = √3; portanto, se AB = 256 segue que CD = 153.

Os dois resultados relativos a 1/α e μ podem, afinal, ser fruto ou do acaso ou da sorte. Devemos, portanto, fortalecer a hipótese buscando outras importantes constantes adimensionais.

O famoso cosmólogo britânico Martin Rees [11], além da Constante de Estrutura fina, enumera outros números adimensionais que são a base da nossa própria existência; em particular ε (=0,00685). Seria essa a fracção de massa de quatro prótons que, nas reações de fusão nuclear dentro das estrelas, é convertida em energia; seu valor determina seja a potência do nosso Sol, seja a proporção em que as estrelas transmutam hidrogênio em outros elementos essenciais para a vida.

Definimos um novo dodecaedro cuja aresta l’ corresponde à distância d mostrada na figura em preto e branco. Sendo que a altura h da dodecaedro é igual a 16.45566976… com três razões de ouro consecutivas obtemos l’ = 3,884656679… Dividimos agora o diâmetro d’ do novo dodecaedro pela sua área A’ e pelo raio r_m da esfera intermediária, tangentes às arestas:

ε = d’/(A’ r_m) = 0,00687

com uma diferença de 0,29% relativamente à constante ε teórica.

Para completar, verificamos ainda se é possível obter a constante λ (=0,691), que regula a expansão do Universo; se esse valor sair de certos limites não são formadas nem as estrelas nem as galáxias.

A razão entre a área A’ e o volume V’ do dodecaedro menor é:

λ = A’/V’ = 0,693

sendo a aproximação menor que 3%.

É importante lembrar que os quatro resultados foram obtidos sem:

i) introduzir arbitrárias constantes numéricas, inclusive números simples como √2, π, etc.;

ii) utilizar operadores matemáticos que não sejam apenas produtos e/ou razões;

iii) utilizar quantidades relativas a outras formas geométricas diferentes do dodecaedro.

Um estudioso de Estatística poderia calcular quais são as probabilidades de acertar as quatro constantes mencionadas utilizando um processo lógico de forma tão simples e direta por meio de outros sólidos platônicos ou não. Recentemente, na literatura [12], foram publicadas tentativas, sem êxito, para obter relações numéricas entre as massas de partículas elementares mediante polítopos semi-regulares usando um database de mais de 600 milhões de dados. No entanto, no caso aqui apresentado, as medidas dos dois dodecaedros são o resultado de um raciocínio simples e consistente, não de inúmeras tentativas sistemáticas.

É verdade que ainda faltam algumas constantes escritas em notação exponencial como, por exemplo, o número de Eddington (10⁸⁰), mas trata-se de ordens de magnitude e não de números exatos. Em qualquer caso nada impede que, num desenvolvimento ulterior desta pesquisa, sejam definidas regras oportunas de modo a estabelecer quando os resultados das operações devem ser considerados como potências de 10 e com o qual sinal algébrico.

Em conclusão, embora não tenha sido possível, pelo menos por enquanto, encontrar um algoritmo capaz de gerar relações entre diferentes grandezas físicas, unificando destarte as quatro forças da natureza, foi demonstrado que o dodecaedro contém as constantes adimensionais mais importantes da Física. Nada nos impede de pensar que o Demiurgo as tenha escondido neste poliedro para nos sugerir que o Cosmos não é fruto do acaso, mas de um projeto inteligente, onde o dodecaedro, com sua perfeição geométrica, é a prova tangível desse projeto.

 

BIBLIOGRAFIA

[1] Kazimier Ajdukiewicz. Problemi e Teorie di Filosofia. Luigi Reverdito Editore, Gardolo di Trento (1989), p. 140.

[2] Gino Loria. Le Scienze Esatte nell’Antica Grecia – Libro I [II]. Ulrico Hoepli, Milano (1914), p. 110.

[3] Werner Heisenberg. Fisica e Filosofia: La rivoluzione nella scienza moderna. Il Saggiatore, Milano (2008).

[4] Arturo Reghini. La Tradizione Pitagorica Massonica. Fratelli Melita Editori, Genova (1988), p. 82-83.

[5] S. Caillerie et al. A new Analysis of the Poincaré Dodecahedral Space Model. Astronomy & Astrophysics, Vol. 476, N° 2, (2007), p. 691-696.

[6] John D. Barrow. I Numeri dell’Universo. Oscar Mondadori, Milano (2009), p.86.

[7] H. Aspden, D. M. Eagles. Aether Theory and the Fine Structure Constant. Physics Letters A, Vol. 41, Issue 5, Elsevier (1972), p. 423.

[8] Baldwin Robertson. Wyler’s Expression for the Fine-Structure Constant α. Physical Review Letters, 27 (1971), p. 1545

[9] Thomas J. Burger. Calculating the Fine Structure Constant. Nature, Vol. 271 (1978), p. 402.

[10] C. Pickover. Computers and the Immagination. St Martin Press, New York (1991), p. 270.

[11] Martin Rees. Just Six Numbers – The Deep Forces That Shape The Universe. Basic Books, New York, (2000), p. 9.

[12] Simon Plouffe. A Search for a Mathematical Expression for Mass Ratios Using a Large Database. April 19, 2004, preprint. Disponível no seguinte link.

 

NOTA: Todos os cálculos foram realizados com uma calculadora geométrica on-line ou com a calculadora do sistema operacional Windows 10, sempre com dez casas decimais.