A METAFÍSICA PLATÔNICA E A DUPLICAÇÃO DO CUBO

A questão da duplicação do cubo, conhecido também como “Problema deliano” foi, junto com a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo, um dos três problemas clássicos da Geometria grega.
Segundo a tradição, no ano 427 a.C., uma violenta epidemia de peste dizimou os habitantes da cidade de Atenas provocando, inclusive, a morte de seu prestigioso líder Péricles. Consternados por essa enorme perda, os habitantes enviaram um delegação ao Oráculo de Apolo no Templo de Delfos para saber como combater a doença. A resposta do Oráculo foi que o altar de Apolo, que possuía a forma de um cubo, deveria ter o seu volume dobrado. Ingenuamente, os geômetras atenienses duplicaram o comprimento das arestas obtendo, assim, um cubo de volume oito vezes maior; como resultado a peste continuou devastando a cidade de Atenas.

A propósito do Templo de Delfos, sede do Oráculo, vale a pena esclarecer que, embora fosse considerado pelos contemporâneos o centro espiritual do paganismo da época (o “umbigo do mundo”) nada tinha a ver com a visão deletéria e corrupta que, durante quase dois mil anos, o Cristianismo propalou a respeito daquela antiga religião. Ao contrário, sabemos que no Templo aparecia a máxima: gnothi seautón que significa “Conhece-te a ti mesmo”. Em latim “Nosce te ipsum”. Já o próprio Platão, no Fedro, aponta o Templo de Delfos como fonte de muitos e dos maiores bens que chegam aos seres humanos por ser, o Templo, um formidável meio de intermediação entre as criaturas mortais e a Divindade.

delfi.jpg
Não há dúvidas que em Delfos se manifestava concretamente a vocação dos Gregos para o conhecimento a ser entendido, porém, como algo diferente do conceito moderno de Ciência: um conhecimento direcionado principalmente à sapiência metafísica.
No Fedro, Sócrates afirma que seria ridículo investigar coisas que lhe são estranhas não tendo ele ainda alcançado a capacidade de conhecer a si mesmo. Por outro lado, Platão sublinha a extrema importância do auto-conhecimento, alertando, ao mesmo tempo, que a alma (psyché) é a essência do homem e que é imperativo, mais que do próprio corpo, tomar conta dela, pois uma vida alheia ao auto-conhecimento não seria digna de ser vivida. Esse filósofo afirma também que a busca interior é “um serviço a Deus” pois, destarte, obedecemos à Sua vontade [1].
Não podemos, portanto, descartar a priori que a resposta dada pelo Oráculo tivesse alguma relação com a epígrafe gnothi seautón e estivesse, por conseguinte, relacionada a rituais já praticados no Templo [2].

O primeiro a tentar uma solução do Problema deliano foi Hipócrates de Quios (460–380 a.C.), discípulo de Pitágoras. Hipócrates reduziu um problema de geometria sólida a outro de geometria plana que, porém, não podia ser solucionado usando apenas régua e compasso. No entanto, esse passo intermédio abriu o caminho para o desenvolvimento de novas técnicas geométricas, em particular àquela que envolve o conceito de médio proporcional. A questão do médio proporcional entre dois segmentos era tida de suma importância junto aos Pitagóricos, pois estava diretamente ligada à visão cosmológica dessa comunidade [3].

Outras soluções interessantes vieram de Arquitas de Tarento (430–360 a.C.), de Menêcmo (380–320 a.C.), de Nicomedes (250–180 a.C.), de Diocles (240–180 a.C.) e de Eratóstenes (275–195 a.C.). Mas existem outras, igualmente válidas, propostas por Platão, Apolônio e Filão de Bizâncio.
No século XIX, os matemáticos Ruffini, Abel e Galois demonstraram a impossibilidade de resolver o problema usando apenas régua e compasso.
Todavia, no final daquele mesmo século, três matemáticos italianos, Gaetano Buonafalce, Giuseppe Vargiù e Gaetano Boccali apresentaram soluções bidimensionais originais e criativas que, embora não rigorosamente exatas, pelo menos davam bons resultados aproximados (erro <0,1%)[4]. Em particular, a solução proposta pelo Eng° Gaetano Boccali em 1884 utilizava o decágono regular estrelado, figura de suma importância junto aos Pitagóricos, pois é dela que se pode construir o pentagrama (ou pentalfa), símbolo predileto dos adeptos de Pitágoras e dos esoteristas de todos os tempos. A figura que segue mostra um decágono estrelado composto por dois pentagramas.

decagram_10_4

Do ponto de vista algébrico a duplicação do cubo é tão simples que um aluno da sétima série poderia encontrar a solução em menos de um minuto. Pois, sendo o volume de um cubo dado pelo cubo do comprimento da aresta, é evidente que se o volume for 2, então o lado terá como comprimento a raiz cúbica de dois. Devemos, todavia, levar em consideração que 24 séculos atrás os matemáticos gregos desconheciam não apenas a geometria analítica, mas também a álgebra e não tinham a noção de zero. Portanto, os problemas matemáticos eram resolvidos mediante a geometria: relativamente complicada no plano, mas extremamente complexa no caso de figuras sólidas.

Entre as soluções listadas acima, a de Arquitas é a mais notável. Trata-se de uma engenhosa construção em três dimensões, onde a solução é representada por um ponto identificado pela intersecção de três superfícies de revolução, ou seja: um cilindro, um cone e um toro.
A imagem seguinte, gerada por um computador, mostra a posição dos três sólidos:

curva_de_arquitas

o toro em verde, o cilindro em azul e o cone em vermelho. A solução, além de ser absolutamente rigorosa e de extrema beleza, mostra que a Escola Pitagórica empregava, já naquela época, o conceito de lugar geométrico e fazia uso da geometria espacial [5]. Arquitas, porém, não apenas não disponha do software oportuno, mas nem sequer de canetas hidrográficas coloridas, folhas de plástico transparente, papel milimetrado e outras ferramentas modernas para desenhar. Pior ainda, a geometria analítica e as coordenadas cartesianas lhe eram totalmente desconhecidas.
Deduzimos, portanto, que esse excelente matemático tarentino dominava em altíssimo grau a capacidade de abstração, dote, essa, típica dos grandes cientistas, dos melhores filósofos e dos mais excelsos poetas.

Constatamos, por outro lado, que as soluções apresentadas pelos geômetras da época, apesar de brilhantes, ficavam aparentemente restritas ao domínio da Geometria profana. Mesmo assim, entrando nos detalhes dessas soluções, descobrimos como elas obedecessem a uma concepção mais profunda e mística da antiga cosmogonia pagã. Esta visão encontrava o seu alicerce na metafísica platônica segundo a qual, conforme lemos no Timeu, “duas coisas não podem ser unidas de forma adequada, sem uma terceira“. Assim, a partir da Unidade (simbolizada por um círculo) que contém tudo, chega-se à Díade onde a Unidade se separa e se diferencia de si mesma por meio de um processo conhecido como polarização e as partes permanecem unidas pela ação do Demiurgo.

Visando representar graficamente esse conceito, é necessário desenhar dois círculos de raio 1 cujos respectivos centros ficam afastados de uma unidade de maneira que possam interagir mutuamente. A interseção dos dois círculos, simbolizando respectivamente a matéria e o espírito, gera uma área comum em forma de bexiga de peixe (Vesica Piscis) ou “amêndoa”, a qual representa o Demiurgo, o fator do Universo material.

Diade.png

Trabalhando geometricamente a partir da “amêndoa”, podem ser gerados vários números irracionais como já mostrado no texto intitulado “Os Polígonos Divinos”. Também, sempre a partir desta figura fundamental, podemos construir figuras importantes da geometria plana: o triângulo, o quadrado, o pentágono, o hexágono e o decágono. Por enquanto, iremos focalizar a atenção sobre o quadrado que “nasce” da Díade.

Após ter identificado os dois centros C e C’, traçamos dois segmentos que, passando por eles, sejam perpendiculares ao eixo de simetria A-A e tangentes às circunferências em C e C’, até interceptá-las, respectivamente, nos pontos D, E, e F, G. Destarte obtemos dois quadrados de lado 1 (CC’FD) e (CC’GE) tendo o lado CC’ em comum. Obviamente, a área de cada quadrado é 1, enquanto suas diagonais, pelo Teorema de Pitágoras, medem raiz de 2.

duplcubo004

Logo, é evidente que a superfície do paralelogramo DEGF é 2. Se agora imaginamos de efetuar uma rotação da Díade de 180° em torno ao eixo Z-Z, obtemos as seguintes figuras sólidas:

– Um cilindro reto de diâmetro 1 e altura 2;

– Um fuso (spindle) de largura máxima 1 e altura raiz de 3;

spindle

– Um Spindle Torus, ou seja, um toro com um fuso central. A figura  abaixo mostra a metade inferior de um Spindle Torus cortado por um plano que passa pelo eixo A-A e perpendicular ao eixo Z-Z.

spindle_toro

A equação (de quarto grau) do Spindle Torus gerado pela rotação da Díade é:

equazspindle.gif

e é imediato verificar que, pondo x=0 e y=0, logramos de novo a altura do fuso piuomeno.gif que é a mesma da Vesica Piscis.

Uma das propriedade mais interessantes de qualquer toro é que, cortando-o com um plano oportunamente inclinado, obtemos dois “círculos de Villarceau” entrelaçados, ou seja, uma nova Vesica Piscis.

villarceau_circles_frame

Consideramos agora o fuso (a Vesica Piscis em três dimensões); observamos que esse sólido fica exatamente contido num paralelepípedo cujas quatro faces maiores retangulares são tangentes à superfíce do fuso e paralelas ao seu eixo maior Z-Z, enquanto as duas faces menores, quadradas, são perpendiculares a esse eixo. Devido o paralelepípedo ser composto pela união de dois cubos de volume 1, o seu volume total é 2.

cubo_doppio001

Nesta altura, utilizamos o conceito de média geométrica, descoberto pelos Pitagóricos e formalizado por Arquitas. Se os lados de um retângulo medem respectivamente a e c, a sua área será o produto ac. Consequentemente, o lado de um quadrado tendo a mesma área será:

mediageom.gif

ou seja, a média geométrica dos dois lados a e c. Isso em duas dimensões. Em três dimensões o volume de um paralelepípedo cujos lados medem a, b e c é o mesmo daquele de um cubo cujo lado l mede:

latocubo.gif

devido nesse caso o volume do paralelepípedo ser 2, o lado do cubo de volume duplo será:

soluzparallel

um número algébrico irracional também conhecido como Constante deliana.
Esta solução, todavia, não resolve completamente o problema, no sentido que ainda não fornece um método que permita utilizar apenas régua e compasso. Ao mesmo tempo, porém, mostra como, partindo da figura da Díade, são gerados os três sólidos usados por Arquitas, e é razoável pensar que esse gênio conhecesse bem a Díade platônica pois, além de ser seu amigo, salvou a vida de Platão em uma das viagens do ateniense à Sicília.

Outra solução engenhosa do problema da duplicação do cubo vem de Menêcmo o qual demostrou como o lado incógnito do cubo de volume dobrado pode ser obtido, em alternativa, ou como ponto de intersecção entre duas parábolas, ou como um ponto de intersecção entre uma parábola e uma hipérbole. Tanto a hipérbole como a parábola, o círculo e a elipse são curvas (denominadas cônicas) geradas por um plano que, com inclinação oportuna, corta um cone como mostrado na figura seguinte:

coniche.png

A razão pela qual é necessário recorrer às cônicas reside na intuição, atribuída a Hipócrates de Quios, segundo o qual o Problema deliano podia ser resolvido com à inserção de dois médios proporcionais x e y entre dois segmentos (a e b) conhecidos, ou seja:

proporzione

no caso específico, a=1 e b=2 são, respectivamente, os volumes dos dois cubos. Reescrevendo a proporção em forma de equação algébrica obtemos:

ratio.gif

da primeira igualdade temos:

parabola.gif

que é a equação de uma parábola com vértice na origem e eixo de simetria que coincide com o eixo vertical das ordenadas. Da segunda igualdade temos:

altraparabola.gif

que representa uma outra parábola perpendicular à anterior. Igualando os extremos obtemos a equação de uma hipérbole:

iperbole

Solucionando qualquer um dos sistemas formados por essas três equações o resultado é sempre o mesmo:

soluzione.gif

A figura abaixo mostra o gráfico das duas parábolas (à esquerda) e de uma parábola com a hipérbole (à direita) que se encontram no mesmo ponto A correspondente à solução do problema:

Menecmo.jpg

É óbvio que, não dispondo Menêcmo das ferramentas oferecidas pela álgebra, a solução foi bem mais complicada daquela que acabamos de apresentar.
Surge, agora, outra pergunta legítima: será que também as cônicas têm sua origem na Vesica Piscis? A resposta é afirmativa.

Cubo_cilindro.jpg

Voltamos à Díade e traçamos os seus eixos de simetria. Agora traçamos, partindo de A, dois segmentos que passam, respectivamente, pelos centros C e C’: o que obtemos são os dois triângulos equiláteros semelhantes ACC’ e AED. A rotação do triângulo maior, respeito ao eixo Z-Z, gera a metade inferior de um cone enquanto o prolongamento dos segmentos EA e DA para cima da Díade gera, por rotação em torno do mesmo eixo, a metade superior do cone.

DoubleCone.png

Vimos, portanto, como a intersecção de dois círculos, que representam a Mônada platônica, gera a Díade e a Vesica Piscis a qual, por sua vez, é mãe geradora de todas as figuras geométricas.
Fica portanto comprovado como o alicerce da Geometria na Antiguidade fosse de natureza profundamente espiritual.

Na verdade, Arquitas, em sua construção, não utilizou um Spindle Torus, mas um Horn Torus, um cilindro de raio 1 apoiado ao eixo z, e um cone horizontal (veja a figura inicial), cujas equações são as seguintes:

equaztoro

equazcilind.gif

equazcono

dessa última obtemos que:

intermed1.gif

substituindo yquadrato.gif na primeira é eliminada a variável z e, mediante a segunda, substituímos o binômio do lado direito da primeira equação com 2x. Destarte a primeira equação se reduz à seguinte:

passaggiofinale

ou seja, palle.gif cuja solução é: soluzione.gif

Encerramos esse trabalho chamando a atenção do leitor a respeito do famoso “olho” que, ocasionalmente, aparece no centro do triângulo denominado Delta Luminoso, nome maçônico da Tetraktys pitagórica, e que pode ser observado, por exemplo, na cédula de um dólar americano ou no famoso quadro de Gustav Klimt Retrato de Adele Bloch-Bauer I

dollar

Ele nada tem a ver com o trinitário “olho do Pai”, pois já era conhecido na época de Platão e pode ser obtido desenhando um círculo de raio 1 no interior da Vesica Piscis. A circunferência mede exatamente π e a figura se parece bastante com um olho humano onde a pupila nada é se não o centro do círculo.

Eye.png

Enquanto a rotação do círculo de raio 1, em relação a qualquer um de seus eixos de simetria gera uma esfera de diâmetro 1 contida, por sua vez, num cubo de volume 1, a rotação do “olho” em relação ao eixo A-A gera uma dupla calota esférica contendo um bulge esférico central. Trata-se de uma forma geométrica bem parecida à do grupo das Galáxias espirais, ao qual pertence a nossa Via Láctea.

Tinha razão Diógenes Laércio quando, no III século da nossa era, escrevia que “A Mônada é o princípio de todas as coisas” e, com efeito, a Vesica Piscis está relacionada com as formas mais importantes do nosso Universo, desde as figuras geométricas fundamentais até às Galáxias, onde nascem as estrelas, os planetas, e os seres que pensam e amam.

galaxy

 

Bibliografia

[1] Moreno Neri. Gnothi Seautón/Tat Tvam Asi: Unità nella Tradizione. L’Acacia N° 1-2  (2014), Angelo Pontecorboli Editore, Firenze (2014).

[2] Abraham Seidenberg. The Ritual Origin of Geometry. Archive for History of Exact Sciences. 1, pp. 488-527, (1962).

[3] George J. Allman. Greek Geometry from Thales to Euclides. Longmans, Green, &Co. London, (1889).

[4] Cícero Monteiro de Souza, Marny Pessoa Silva de Araújo, Vladimir Lira Veras Xavierde Andrade. As Três Últimas Tentativas da Duplicação do Cubo. Universidade Federal Rural de Pernambuco – UFRPE

[5] José Miguel Rodrigues de Sousa. Trissecção do Ângulo e Duplicação do Cubo: as Soluções na Antiga Grécia. Departamento de Matemática Pura, Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, (2001).

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